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Welche Mathematik es zum Verstehen der Corona-Pandemie braucht – und wie sie uns Hoffnung machen kann

Die Tragödienschrift der Pandemie ist die Mathematik. Sie ist kurz, prägnant, bisweilen auch missverständlich.

Um dem öffentlichen Diskurs zur Corona-Krise folgen zu können, braucht es mathematisches Wissen in drei Punkten:

  1. natürliche Zahlen,
  2. Prozentrechnen,
  3. exponentielles Wachstum.

Alle drei Bereiche sind bisweilen abstrakt, sie passen teilweise nicht zu unserem täglichen Erleben.

Die natürlichen Zahlen. 0 ist die kleinste natürliche Zahl. Jede natürliche Zahl hat genau eine Nachfolgerzahl. Ist n eine beliebige natürliche Zahl, so ist diese Nachfolgerzahl die Zahl n+1. So lautet die Definition.

Ein- und zweistellige Zahlen können wir uns gut vorstellen. Die Finger an unserer Hand, die Zahl der Äpfel in der Einkaufstüte. Noch vor ihrer Schulzeit können Kinder mit diesen Zahlen umgehen. Ab dreistelligen Zahlen tun sich auch Erwachsene schwer. Weniger damit zu rechnen, als sich große Zahlen angemessen vorstellen zu können. Wie viele Besucher sind auf dem Ausflugsschiff? Wie groß ist die Zahl der Demonstranten? Wie lang wäre ungefähr die Schlage, würde man alle Einwohner Berlins in eine Reihe stellen?

Große Zahlen übersteigen das, was wir in unserem täglichen Leben in der Regel benötigen. Die Folge: Die Einordnung der Bedeutung großer Zahlen fällt uns schwer. Oder deren Nicht-Bedeutung. Die Wahrscheinlichkeit für 6 Richtige plus Superzahl beim Lotto liegt bei 1 zu 139.838.160. Mit anderen Worten: Es gibt 139.838.160 Möglichkeiten sechs Zahlen und die Superzahl zu kombinieren. Würden wir die Größe der Zahl fassen, kaum einer würde Lotto spielen.

Auch in der Corona-Pandemie geht es um große Zahlen. Millionen werden mit dem Virus angesteckt, zu befürchten ist, dass Hunderttausende sterben. Solche sechs- und siebenstelligen Zahlen sind schwer zu fassen. Wir verstehen, es ist viel. Das macht Angst.

Helfen kann die Relativierung. Das Mittel der Relativierung ist die Prozentrechnung. Sie ist ein besonderer Fall der Bruchrechnung. Um verschiedene Bruchteile zu vergleichen, „normiert“ man alle Brüche, indem einheitlich der Nenner 100 gewählt wird („pro Cent“ heißt „auf 100“). Für diese Brüche wählt man eine eigene Bezeichnung: x/100 = x%.

Prozentzahlen sind entscheidende Zahlen der Pandemie-Debatte. Schwere Krankheitsverläufe von Infizierten im Verhältnis zu allen Infizierten werden damit angegeben oder das Verhältnis der Zahl jener, die das Virus überleben, zu der, die daran sterben (Sterblichkeit). Prozentzahlen sind uns vertraut. Und weil wir mit Zahlen bis 100 gut umgehen können, ist die Normierung auf 100 verständnisfördernd.

Im Ins-Verhältnis-bringen steckt aber auch ein Nachteil. Das Wort der Relativierung kennt in ihrer Doppelbedeutung die darin steckende Verharmlosung. Es macht eben bei einer Sterblichkeit von 1 Prozent einen großen Unterschied ob sich 100.000 Menschen anstecken (dann sterben 1000 Menschen) oder zehn Millionen (100.000 Tote).

Wenn es so kommt, dass die sogenannte Herden-Immunität (50 bis 70 Prozent der Gesellschaft) eintreten wird, bevor ein Impfstoff entwickelt ist, dann kann man einfach ausrechnen, vor welchem Drama wir stehen.

Aber auch hier kann eine Relation helfen. Nämlich die zur „normalen“ Sterblichkeit. Im Durchschnitt sterben in Deutschland täglich 2.500 Menschen. Das sind im Jahr 890.000. Liegt die Sterblichkeit des Corona-Virus bei 1 Prozent, dann würde bei Eintreten der Herden-Immunität (bei einer angenommen Herden-Immunität von 60 Prozent) 480.000 Menschen gestorben sein. Aber es wäre sicherlich unseriös, zu den „normal Verstorbenen“ simpel die „Corona-Toten“ hinzuzählen. Denn ein Teil der in direkter Folge des Corona-Virus‘ Verstorbenen wäre auch ohne eine Infizierung kurze Zeit später gestorben.

Relationen können also helfen, Gefahren besser einzuschätzen, sie sind aber wenig geeignet, das absolute Ausmaß einer Entwicklung zu verstehen.

Exponentielles Wachstum beschreibt einen Wachstumsprozess, bei dem sich die Bestandsgröße in jeweils gleichen Zeitschritten immer um denselben Faktor verändert.

In der Corona-Pandemie ist das exponentielle Wachstum vielleicht die entscheidende Größe. Der so genannte R0-Wert (beim neuen Corona-Virus wird aktuell ein Wert zwischen 2,4 und 3,3 geschätzt) gibt die Reproduktion der Virusträger an.

Ein R0-Wert von 2 bedeutet, dass im Durchschnitt ein Infizierter zwei weitere Menschen ansteckt. Bei einem solchen Wert verdoppelt sich pro Zeiteinheit die Zahl der Infizierten. Die Folge lautet dann:

1
2
4
8
16
32
64
128
256
512
1024
2048
4096
8.192
16.384
32.768
65.536
131.072
262.144
524.288
1.048.576
2.097.152
4.194.304
8.388.608
16.777.216
33.554.432
67.108.864
134.217.728

Ordnet man obigen Zahlen Zahlen einer anderen Zahlenmenge zu, entsteht eine Funktion. Definition: Eine Menge an geordneten Paaren nennt man Funktion, wenn in dieser Menge niemals Paare auftreten, die zum selben x verschiedene y haben. Die Zuordnung muss also für jedes x eindeutig ein y festlegen.

Eine Funktion schreibt man f: x-> y
spricht: „Die Funktion f mit x wird zugeordnet y“.

Mehr oder weniger bewusst haben wir die Zahlen oben bereits als Funktion gedeutet: Der Zahl der Wochen (x) wurde eine Zahl von Infizierten (y) zugeordnet.

Die mathematische Schreibweise ist dann
f: 0 -> 1
f: 1 -> 2
f: 2 -> 4
f: 3 -> 8

f: 27 -> 134.217.728

Will man nun mathematisch für jede beliebige Woche eine Zahl (an Infizierten) erhalten, braucht es eine Formel zur Berechnung dieser Zuordnung. Diese ist folgende Exponentialfunktion:

f (x)= 2x
mit x Element der natürlichen Zahlen, wobei x für die Zahl der Wochen seit der ersten Infektion steht

Da sich die Basis 2 aus R0 ergibt, kann man allgemeiner auch schreiben:
f (x) = R0x

Wie bei großen Zahlen fehlt auch beim exponentiellen Wachstum die Erfahrung der erlebten Wirklichkeit. Exponentielles Wachstum findet nachvollziehbar vor unseren Augen nicht statt. Wir leben in einer linearen Welt. Wenn ich drei Mal so viel anbaue, kann ich drei Mal so viel ernten. Wenn ich doppelt so viel verdiene, kann ich doppelt so viel ausgeben. Die Tatsache, dass ein ganzes Volk infiziert sein soll, weil einige Monate zuvor ein einzelner Mensch mit diesem Virus in Kontakt kam, passt nicht in diese lineare Welt.

Die Mathematik kann insofern helfen, das schwer Vorstellbares zu fassen. Die tatsächliche Entwicklung der täglichen Fallzahl des Coronavirus (COVID-19) in Deutschland zeigt, dass die obige Formel eine Annäherung an die Realität ist. Die kommenden Wochen werden mutmaßlich eine wirklich große Herausforderung.

Aber es gibt Hoffnung. Denn wir haben Einfluss auf R0. Durch unser Verhalten. Genauer gesagt, durch das Verhalten aller. Gelingt etwa eine Reduzierung auf R0 = 1 (dass also jeder Neu-Infizierte im Schnitt nur einen Menschen ansteckt), dann würde aus dem exponentiellen Verlauf ein linearer.

Noch besser: Sinkt der R0-Wert auf unter 1, geht die Zahl der Neu-Infektionen zurück. Nach einiger Zeit könnten einzelne Fälle wieder besser verfolgt und gezielter isoliert werden. Der Wert würde auch dadurch weiter sinken.

Durch eine schnelle Lernkurve der Bevölkerung, bessere und mehr Technik zur Erkennung der Infektion und mehr Schutz vor Infektionen sind vielleicht in einigen Wochen Titelzeilen möglich, die uns aktuell schwer vorstellbar scheinen, etwa: Die Pandemie ist unter Kontrolle.

Von Johannes Eber

In Berlin living economist, senior consultant at Initiative Neue Soziale Marktwirtschaft (INSM) and co-founder of the media agency Solokarpfen.

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